Calcule os limites:
.

Passo 1

O enunciado pede o limite quando ttoinfty da função vetorial vec f(t)=e^-t,vec i+t-1t+1,vec j+arctan(t),vec k. O conteúdo envolvido é limite de função vetorial, que reduz ao cálculo dos limites de cada componente: exponencial decrescente, razão de polinômios e arctangente.
Usamos a propriedade de limites de funções vetoriais: limttoinftyl(v1(t),vec i+v2(t),vec j+v3(t),vec kr)=l(limttoinftyv1(t)r),vec i+l(limttoinftyv2(t)r),vec j+l(limttoinftyv3(t)r),vec k.

Passo 2

Calculamos o primeiro componente: limttoinftye^-t=0, já que e^-t decai exponencialmente.

Passo 3

Para o segundo componente, observamos que t-1t+1 é uma razão de polinômios de mesmo grau; portanto
limttoinftyt-1t+1=11=1

Passo 4

No terceiro componente, usamos o limite clássico da arctangente: limttoinftyarctan(t)=pi2.

Resposta

0,vec i+1,vec j+pi2,vec k

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