Decida se cada uma das séries abaixo é convergente e calcule sua soma quando possível:

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série sumn=0^infty x^n cosl(npi2r) converge para |x|<1 e, se convergir, calcular sua soma. O conteúdo principal envolve séries de potências e a periodicidade da função cos(npi/2).

Passo 2

Observamos que cos(npi/2) é periódico de período 4, com valores: cos(0)=1, cos(pi/2)=0, cos(pi)=-1, cos(3pi/2)=0, e então o padrão se repete. Só os termos com n=4k ou n=4k+2 contribuem.

Passo 3

Reescrevemos a série agrupando esses termos não nulos:
sumn=0^infty x^n cosl(tfracnpi2r) =sumk=0^inftyl(x^4kcdot1 + x^4k+1cdot0 + x^4k+2cdot(-1)+x^4k+3cdot0r) =sumk=0^inftyl(x^4k-x^4k+2r)
Note que podemos fatorar x^4k em cada termo:
sumk=0^inftyl(x^4k-x^4k+2r) =sumk=0^inftyx^4k(1 - x^2)

Passo 4

Como |x|<1, a soma sumk=0^inftyx^4k é uma série geométrica de razão x^4, cujo valor é 1/(1-x^4). Logo:
sumk=0^inftyx^4k(1 - x^2) =(1 - x^2)sumk=0^infty(x^4)^k =1 - x^21 - x^4

Passo 5

Basta simplificar usando a fatoração de diferença de quadrados 1 - x^4=(1 - x^2)(1 + x^2):
1 - x^21 - x^4 =1 - x^2(1 - x^2)(1 + x^2) =11 + x^2

Resposta

A série converge para |x|<1 e sua soma é 11 + x^2.

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