Decida se cada uma das séries abaixo é convergente e calcule sua soma quando possível:
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge para
e, se convergir, calcular sua soma. O conteúdo principal envolve séries de potências e a periodicidade da função
.
Passo 2
Observamos que
é periódico de período 4, com valores:
,
,
,
, e então o padrão se repete. Só os termos com
ou
contribuem.
Passo 3
Reescrevemos a série agrupando esses termos não nulos:
Note que podemos fatorar
em cada termo:
Passo 4
Como
, a soma
é uma série geométrica de razão
, cujo valor é
. Logo:
Passo 5
Basta simplificar usando a fatoração de diferença de quadrados
:
Resposta
A série converge para |x|<1 e sua soma é
.