Decida se cada uma das séries abaixo é convergente e calcule sua soma quando possível:
Passo 1
Estamos com a série
. Esse exercício envolve séries geométricas. Para resolver, vamos usar o critério de convergência de séries geométricas e a fórmula de soma de uma série geométrica.
Passo 2
Note que cada termo geral pode ser escrito como
. Assim, temos uma série geométrica com primeiro termo
e razão
.
Passo 3
Aplicando o critério de convergência: uma série geométrica converge se, e somente se,
. Como
, concluímos que a série é convergente.
Passo 4
Para séries geométricas convergentes, a soma vale
Substituindo
e
obtemos
Resposta
A série converge e sua soma é
.