Decida se cada uma das séries abaixo é convergente e calcule sua soma quando possível:
sumn=1^infty 1e^n / 2

Passo 1

Estamos com a série sumn=1^infty 1e^n/2. Esse exercício envolve séries geométricas. Para resolver, vamos usar o critério de convergência de séries geométricas e a fórmula de soma de uma série geométrica.

Passo 2

Note que cada termo geral pode ser escrito como 1e^n/2 = (e^-1/2)^n. Assim, temos uma série geométrica com primeiro termo a = e^-1/2 e razão r = e^-1/2.

Passo 3

Aplicando o critério de convergência: uma série geométrica converge se, e somente se, |r| < 1. Como |e^-1/2| = e^-1/2 < 1, concluímos que a série é convergente.

Passo 4

Para séries geométricas convergentes, a soma vale
S = a1 - r
Substituindo a = e^-1/2 e r = e^-1/2 obtemos
S = e^-1/21 - e^-1/2 = 1e^1/2 - 1

Resposta

A série converge e sua soma é 1e^1/2 - 1.

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