Calcule os limites:

Passo 1

Estamos calculando o limite (\lim_{x\to2}\bigl(\tfrac13\bigr){\frac{x3-6x2+11x-6}{x2-3x+2}}. O conteúdo envolve limites de funções exponenciais e fatoração de polinômios para simplificar o expoente.

Passo 2

Para simplificar o expoente, fatoramos numerador e denominador como polinômios de grau maior. O numerador x^3-6x^2+11x-6 tem raízes em 1,2,3, então podemos escrever:
x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)
O denominador x^2-3x+2 tem raízes em 1,2, daí
x^2-3x+2=(x-1)(x-2)

Passo 3

Cancelando os fatores comuns (x-1)(x-2) no numerador e denominador (válido para xneq1,2), obtemos o expoente simplificado:
x^3-6x^2+11x-6x^2-3x+2=x-3
Como estamos interessados em xto2, o expoente tende a 2-3=-1.

Passo 4

Com o expoente aproximando-se de -1, aplicamos o limite na base fixa 1/3. Ficamos com:
limxto2l(tfrac13r)^x-3=igl(tfrac13r)^-1=3 

Resposta

3

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