Verifique em quais pontos as funçôes abaixo são possuem derivadas parciais
f(x, y)=lx yx^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, caso contrário á

Passo 1

A questão pede para verificar onde as derivadas parciais de
f(x,y)= dfracxyx^2+y^2,& (x,y)neq(0,0) 0,&(x,y)=(0,0)
existem. O conteúdo é derivadas parciais de funções de duas variáveis, vamos precisar da regra do quociente e da definição de derivada parcial no ponto (0,0).

Passo 2

Para qualquer ponto (x,y)neq(0,0), o denominador x^2+y^2 é diferente de zero. Como produto e soma de polinômios são funções C^infty, seu quociente também é diferenciável onde o denominador não some. Portanto, em todo (x,y)neq(0,0) as derivadas parciais existem (e até são contínuas).

Passo 3

No ponto (0,0), usamos a definição de derivada parcial. Para partial f/partial x em (0,0):
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h= limhto00-0h=0
Para partial f/partial y em (0,0):
partial fpartial y(0,0)=limhto0f(0,h)-f(0,0)h= limhto00-0h=0
Logo, as duas derivadas parciais existem em (0,0).

Passo 4

Concluindo, as derivadas parciais de f existem em todos os pontos do plano.

Resposta

As derivadas parciais existem em todo o R^2.

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