Calcule os limites:
lim x 1 e^x-1raizx-1

Passo 1

O enunciado pede o limite limxto1 e^x-1raizx-1. O conteúdo é limite de função composta e vamos precisar usar propriedades de limites, continuidade do exponencial e simplificar o quociente usando fatoração.

Passo 2

Primeiro observamos que, ao substituir x=1 no expoente, obtemos a forma indeterminada 0/0. Para resolver isso, podemos usar fatoração ou regra de l’Hôpital. Aqui escolhemos fatorar a diferença de quadrados.
Para simplificar o quociente, usamos a identidade x-1=(raizx-1)(raizx+1) e cancelamos: x-1raizx-1=(raizx-1)(raizx+1)raizx-1=raizx+1

Passo 3

Agora, calculamos o limite do expoente quando xto1: raizx+1toraiz1+1=2.
Como a função exponencial é contínua, podemos trazer o limite para dentro: limxto1 e^x-1raizx-1 = e^limxto1x-1raizx-1 = e^2.

Resposta

e^2

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