Calcule os limites:

Passo 1

O enunciado pede para calcular (\lim_{x\to 4}\bigl(1/\mathrm{e}\bigr){\frac{x2-5x+4}{\sqrt{x}-2}}. O conteúdo envolve limites de forma indeterminada 0/0, e vamos precisar usar fatoração para simplificar a expressão do expoente.

Passo 2

Ao fazer xto 4, o numerador x^2-5x+4 e o denominador raizx-2 vão ambos a zero, caracterizando uma indeterminação 0/0.

Passo 3

Fatoramos o numerador: x^2-5x+4=(x-1)(x-4). Além disso, x-4=(raizx-2)(raizx+2). Substituindo, temos
x^2-5x+4raizx-2 = (x-1)(raizx-2)(raizx+2)raizx-2
Cancelando raizx-2 (válido para xneq4), sobra
A expressão do expoente simplifica-se para
(raizx+2)(x-1)
Agora basta calcular o limite dessa expressão quando xto4: substituindo raiz4=2 e 4-1=3, obtemos (2+2)cdot3=12.

Passo 4

Assim, o limite do expoente é 12, e portanto
limxto4l(1/er)^x^2-5x+4raizx-2 = l(1/er)^12 = e^-12

Resposta

e^-12

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