Verifique em quais pontos as funçôes abaixo são possuem derivadas parciais
f(x, y)=lsen(x^2+y^2)x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 1, caso contrário á

Passo 1

A função é dada por
f(x,y)= sin(x^2+y^2)x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0) 1,&(x,y)=(0,0)
O conteúdo é existências de derivadas parciais. Vamos usar a definição de derivada parcial e o fato de que composições de funções suaves são suaves em pontos onde tudo é bem comportado.

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) a expressão sin(u)u com u=x^2+y^2 é uma composição de funções infinitamente diferenciáveis (senóide e polinômios) em que o denominador não se anula. Logo, f é suave em qualquer ponto (x,y)neq(0,0) e, consequentemente, possui derivadas parciais ali.

Passo 3

No ponto (0,0), usamos a definição
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h
Para hneq0, temos
f(h,0)=sin(h^2)h^2
Então
f(h,0)-1h=sin(h^2)h^2-1h
Usando a expansão de Taylor
sin(h^2)=h^2-(h^2)^36+o(h^6)=h^2-h^66+o(h^6),
o que dá
sin(h^2)h^2=1-h^46+o(h^4)
Logo o numerador sin(h^2)/h^2-1 é -h^4/6+o(h^4), e
-h^4/6+o(h^4)h=-h^36+o(h^3)to0(hto0)
Assim partial f/partial x(0,0)=0.

Passo 4

De forma análoga, avaliando
partial fpartial y(0,0)=limkto0f(0,k)-1k
e repetindo o mesmo desenvolvimento, chega-se a 0. Portanto, ambas as derivadas parciais existem em (0,0).

Resposta

As derivadas parciais existem em todos os pontos de R^2, inclusive em (0,0).

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