Verifique em quais pontos as funçôes abaixo são possuem derivadas parciais
Passo 1
A função é dada por
O conteúdo é existências de derivadas parciais. Vamos usar a definição de derivada parcial e o fato de que composições de funções suaves são suaves em pontos onde tudo é bem comportado.
Passo 2
Para (x,y)\neq(0,0) a expressão
com
é uma composição de funções infinitamente diferenciáveis (senóide e polinômios) em que o denominador não se anula. Logo,
é suave em qualquer ponto
e, consequentemente, possui derivadas parciais ali.
Passo 3
No ponto
, usamos a definição
Para
, temos
Então
Usando a expansão de Taylor
o que dá
Logo o numerador
é
, e
Assim
.
Passo 4
De forma análoga, avaliando
e repetindo o mesmo desenvolvimento, chega-se a
. Portanto, ambas as derivadas parciais existem em
.
Resposta
As derivadas parciais existem em todos os pontos de R^2, inclusive em (0,0).