Calcule os limites:

Passo 1

O exercício pede para calcular limxto-inftyl(1+tfrac1xr)^x+2. O conteúdo envolve limites do tipo exponencial com forma indeterminada, e vamos precisar do resultado clássico limutoinfty(1+tfrac1u)^u = e.

Passo 2

Como xto-infty, definimos t = -x. Assim tto+infty e x = -t. Vamos reescrever a expressão em função de t.

Passo 3

Reescrevendo em termos de t temos:
(1+tfrac1x)^x+2 = (1 - tfrac1t)^-t+2
Em seguida podemos decompor:
(1 - tfrac1t)^-t+2 = (1 - tfrac1t)^-tcdot(1 - tfrac1t)^2

Passo 4

Agora avaliamos cada fator separadamente. Para o primeiro fator:
limttoinfty(1 - tfrac1t)^-t = limttoinftyl[(1 - tfrac1t)^tr]^-1 = (e^-1)^-1 = e
Para o segundo fator:
limttoinfty(1 - tfrac1t)^2 = 1
Multiplicando os dois limites, obtemos etimes1 = e. Portanto o limite original é e.

Resposta

e

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