Calcule os limites:
lim x 0^+ log 10 x-x^3x^2+x

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a 0 pela direita da função logarítmica de base 10 de um quociente. O conteúdo envolve regras de limites, propriedades de log e manipulação algébrica de frações para simplificar o argumento do log.

Passo 2

Para começar, vamos olhar só para o argumento do log, isto é, a função f(x)= (x - x^3)/(x^2 + x). Se conseguirmos simplificar f(x), fica mais fácil avaliar o limite.
Observe que tanto o numerador quanto o denominador têm um fator x em comum. Fatorando, temos:
x - x^3x^2 + x = x(1 - x^2)x(1 + x) = 1 - x^21 + x

Passo 3

Agora vamos calcular o limite de f(x)= (1 - x^2)/(1 + x) quando x tende a 0 pela direita. Como não há mais indeterminação, basta substituir x=0:
limxto0^+1 - x^21 + x = 1 - 01 + 0 = 1

Passo 4

Finalmente, usamos a continuidade do log na vizinhança de 1: quando f(x)→1, então log₁₀(f(x))→log₁₀(1). E sabemos que log₁₀(1)=0.

Resposta

0

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