Calcule os limites:

Passo 1

O exercício pede para calcular limxto+inftyl(1+tfrac3xr)^2x. O conteúdo é limite de expressão do tipo (1+tfracax)^bx e vamos usar propriedades do número e e logaritmos para resolver.

Passo 2

Vamos chamar y=l(1+tfrac3xr)^2x e estudar ln y. Temos:
$$\ln y = 2x\ln\Bigl(1+\frac{3}{x}\Bigr).
$$

Passo 3

Para limites que envolvem ln(1+u) quando uto0, usamos a expansão ln(1+u)=u - tfracu^22+o(u^2). Aqui u=3/x, logo:
$$\ln\Bigl(1+\frac{3}{x}\Bigr)=\frac{3}{x}-\frac{1}{2}\Bigl(\frac{3}{x}\Bigr)2+o\Bigl(\frac{1}{x2}\Bigr)=\frac{3}{x}-\frac{9}{2x2}+o\Bigl(\frac{1}{x2}\Bigr).
$$

Passo 4

Substituindo em ln y:
$$\ln y=2x\Bigl(\frac{3}{x}-\frac{9}{2x2}+o\bigl(\tfrac{1}{x2}\bigr)\Bigr)=6-\frac{9}{x}+o\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr).
$$

Passo 5

Como xto+infty, o termo -9/x+o(1/x) vai a zero, logo ln yto6. Portanto y=exp(ln y)to e^6.

Resposta

e^6

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