Calcule os limites:
Passo 1
O exercício pede para calcular
. O conteúdo é limite de expressão do tipo
e vamos usar propriedades do número
e logaritmos para resolver.
Passo 2
Vamos chamar
e estudar
. Temos:
$$\ln y = 2x\ln\Bigl(1+\frac{3}{x}\Bigr).
$$
Passo 3
Para limites que envolvem
quando
, usamos a expansão
. Aqui
, logo:
$$\ln\Bigl(1+\frac{3}{x}\Bigr)=\frac{3}{x}-\frac{1}{2}\Bigl(\frac{3}{x}\Bigr)2+o\Bigl(\frac{1}{x2}\Bigr)=\frac{3}{x}-\frac{9}{2x2}+o\Bigl(\frac{1}{x2}\Bigr).
$$
Passo 4
Substituindo em
:
$$\ln y=2x\Bigl(\frac{3}{x}-\frac{9}{2x2}+o\bigl(\tfrac{1}{x2}\bigr)\Bigr)=6-\frac{9}{x}+o\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr).
$$
Passo 5
Como
, o termo
vai a zero, logo
. Portanto
.
Resposta
e^6