Exercício 13 Considere f uma função complexa f: C C.
  • escrevendo C ni z=x+i y, podemos identificar A como um conjunto aberto de R^2;
  • podemos escrever
f(z)=f(x+i y)=u(x, y)+i v(x, y)
sendo u, v: R^2 R.
  • a derivada de f num ponto z0=x0+i y0, quando existe, é definida por
f^prime(z0)=lim h 0 f(z0+h)-f(z0)h
Mostre que
f^prime(z0) & =partial upartial x(x0, y0)+i partial vpartial x(x0, y0) & =partial vpartial y(x0, y0)-i partial upartial y(x0, y0)
Obs: Essas igualdades definem as chamadas equações de Cauchy-Riemann:
partial upartial x(x0, y0) & =partial vpartial y(x0, y0) partial vpartial x(x0, y0) & =-partial upartial y(x0, y0)

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos uma função complexa f: ℂ→ℂ que, ao escrever z=x+iy, se decompõe em partes reais u(x,y) e imaginárias v(x,y), de modo que f(z)=u(x,y)+i v(x,y). A derivada f′(z₀) está definida pelo limite f(z₀)=limh→0f(z₀+h)-f(z₀)h. Para obter as expressões em termos de derivadas parciais, vamos avaliar esse limite tomando h real e h imaginário.

Passo 2

Para h=Δx∈ℝ, o quociente de diferença fica
f(z₀+Δx)-f(z₀)Δx =u(x₀+Δx,y₀)-u(x₀,y₀)Δx + iv(x₀+Δx,y₀)-v(x₀,y₀)Δx
Fazendo Δx→0 e usando a definição de derivada parcial, obtemos
f(z₀)=∂u∂x(x₀,y₀)+i∂v∂x(x₀,y₀)

Passo 3

Para h=iΔy (Δy real), temos
f(z₀+iΔy)-f(z₀)iΔy =u(x₀,y₀+Δy)-u(x₀,y₀)iΔy + iv(x₀,y₀+Δy)-v(x₀,y₀)iΔy
Como 1/(i)=−i, isso se reescreve como
v(x₀,y₀+Δy)-v(x₀,y₀)Δy - iu(x₀,y₀+Δy)-u(x₀,y₀)Δy
No limite Δy→0 obtemos
f(z₀)=∂v∂y(x₀,y₀)-i∂u∂y(x₀,y₀)

Passo 4

Como o limite que define f′(z₀) é único, as duas expressões devem coincidir. Portanto
∂u∂x(x₀,y₀)+i∂v∂x(x₀,y₀) =∂v∂y(x₀,y₀)-i∂u∂y(x₀,y₀)
Comparando parte real e imaginária, surgem as equações de Cauchy–Riemann:
∂u∂x=∂v∂y, ∂v∂x=-∂u∂y

Resposta

f'(z0)=∂u∂x(x0,y0)+i∂v∂x(x0,y0) =∂v∂y(x0,y0)-i∂u∂y(x0,y0)

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