escrevendo , podemos identificar como um conjunto aberto de ;
podemos escrever
sendo .
a derivada de num ponto , quando existe, é definida por
Mostre que
Obs: Essas igualdades definem as chamadas equações de Cauchy-Riemann:
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos uma função complexa f: ℂ→ℂ que, ao escrever z=x+iy, se decompõe em partes reais u(x,y) e imaginárias v(x,y), de modo que f(z)=u(x,y)+i v(x,y). A derivada f′(z₀) está definida pelo limite f(z₀)=limh→0f(z₀+h)-f(z₀)h₀₀₀. Para obter as expressões em termos de derivadas parciais, vamos avaliar esse limite tomando h real e h imaginário.