Calcule os limites:

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limx to +infty l(x+4x-3r)^x
Esse é um limite exponencial do tipo (1+u(x))^v(x). Vamos usar a definição do número e e propriedades de logaritmo para resolver.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a base de forma a evidenciar o 1+:
x+4x-3 = (x-3)+7x-3 = 1 + 7x-3

Passo 3

Em seguida, aplicamos a função exponencial e o logaritmo natural para trazer o expoente para frente:
l(1 + 7x-3r)^x = expl(x lnl(1 + 7x-3r)r)

Passo 4

Agora basta calcular o limite do expoente:
limx to +infty x lnl(1 + 7x-3r)
Fazendo a substituição t = x-3 (então t to +infty e x = t+3), temos
x lnl(1 + 7x-3r)= (t+3)lnl(1+7tr)
e, para grandes t, ln(1+7/t)sim 7/t, logo
(t+3)lnl(1+7tr)sim (t+3)7t to 7

Resposta

e^7

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