Calcule os limites:

Passo 1

Estamos com o limite
limxto+inftyl(x^2+1x^2-3r)^x^2
que é um caso de indeterminação do tipo 1^infty. Vamos usar expansão de logaritmo para resolver.

Passo 2

Primeiro reescrevo o quociente dentro da potência para evidenciar o desvio de 1:
x^2+1x^2-3=1+(x^2+1)-(x^2-3)x^2-3=1+4x^2-3

Passo 3

Como xto+infty, temos que esse termo vai para 1 e o expoente x^2 vai para +infty, gerando a forma 1^infty. Para lidar com isso, definimos
L=limxto+inftyl(1+4x^2-3r)^x^2
e estudamos seu logaritmo natural:

Passo 4

Calculamos
ln L=limxto+inftyx^2lnl(1+4x^2-3r)
Como ln(1+u)approx u para u pequeno, temos
lnl(1+4x^2-3r)=4x^2-3+ol(tfrac1x^2r)
Logo,
ln L=limxto+inftyx^2l(4x^2-3+o(tfrac1x^2)r)=4

Passo 5

Como ln L=4, concluímos que
L=e^4

Resposta

e^4

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