Exercício 3 Determine os pontos nos quais as funções abaixo são diferenciáveis.
f(x, y)=lx^2-y^2x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0), 0, caso contrário á

Passo 1

O enunciado pede para determinar em que pontos a função de duas variáveis
f(x,y)=x^2-y^2x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),0,&(x,y)=(0,0)
é diferenciável. O conteúdo envolve diferenciabilidade em R^2, uso de teoremas de funções compostas e necessidade de checar continuidade.

Passo 2

Para qualquer ponto (x,y)neq(0,0), temos x^2+y^2neq0 e
f(x,y)=x^2-y^2x^2+y^2
é razão de funções polinomiais não nulas no denominador. Como polinômios são C^infty e a divisão por função não nula preserva a diferenciabilidade, concluímos que f é diferenciável em todos os pontos fora da origem.

Passo 3

No ponto (0,0) verificamos a continuidade, que é condição necessária para diferenciabilidade. Ao aproximar por diferentes retas, encontramos limites distintos:
lim(x,0)to(0,0)f(x,0)=limxto0x^2x^2=1
lim(t,t)to(0,0)f(t,t)=limtto0t^2-t^2t^2+t^2=0
Como esses limites não coincidem, f não é contínua em (0,0) e, portanto, não pode ser diferenciável ali.

Passo 4

Reunindo tudo, f é diferenciável em todos os pontos em que (x,y)neq(0,0) e não é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função é diferenciável em todos os pontos (x,y)neq(0,0) e não é diferenciável em (0,0).

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