Exercício 3 Determine os pontos nos quais as funções abaixo são diferenciáveis.
Passo 1
O enunciado pede para determinar em que pontos a função de duas variáveis
é diferenciável. O conteúdo envolve diferenciabilidade em
Passo 2
Para qualquer ponto
, temos
e
é razão de funções polinomiais não nulas no denominador. Como polinômios são
Passo 3
No ponto
verificamos a continuidade, que é condição necessária para diferenciabilidade. Ao aproximar por diferentes retas, encontramos limites distintos:
Como esses limites não coincidem,
não é contínua em
e, portanto, não pode ser diferenciável ali.
Passo 4
Reunindo tudo,
é diferenciável em todos os pontos em que
e não é diferenciável em
.
Resposta
A função é diferenciável em todos os pontos
e não é diferenciável em
.