Calcule os limites.
lim x +infty(x+raiz[3]1-x^3)

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyl(x+raiz[3]1-x^3r)
O tipo de indeterminação é “ +infty mais -infty”, pois para x grande temos xto+infty e raiz[3]1-x^3simraiz[3]-x^3=-xto-infty. Vamos usar a fatoração da soma de cubos para reescrever a expressão de forma que fique um único quociente, cujo limite é mais fácil de avaliar.

Passo 2

Defina
a=raiz[3]1-x^3, b=x
Então a^3=1-x^3 e b^3=x^3, logo
a^3+b^3=(1-x^3)+x^3=1
Pela identidade da soma de cubos
a^3+b^3=(a+b)l(a^2-ab+b^2r),
temos
(a+b)l(a^2-ab+b^2r)=1 Longrightarrow a+b=1a^2-ab+b^2
Portanto
x+raiz[3]1-x^3 =a+b =1a^2-ab+b^2

Passo 3

Agora analisamos o comportamento de a^2-ab+b^2 quando xto+infty.
Para x grande,
a=raiz[3]1-x^3simraiz[3]-x^3=-x,
então
a^2sim x^2, -absim -l(-xcdot xr)=x^2, b^2=x^2
Somando,
a^2 - ab + b^2sim x^2 + x^2 + x^2=3x^2

Passo 4

Substituindo na expressão de a+b,
x+raiz[3]1-x^3 =1a^2-ab+b^2 sim13x^2
Como 1/(3x^2)to 0 quando xto+infty, concluímos:

Resposta

limxto+inftyl(x+raiz[3]1-x^3r)=0

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