Seja
uma função definida em um subconjunto
. Se
é uma função diferenciável e
, então o espaço tangente ao conjunto de nível
no ponto (
) existe. Mostre que se
é uma função diferenciável com
em
é uma curva diferenciável, com
e
pertencente ao conjunto de nível
, então
pertence ao espaço tangente ao conjunto de nível
no ponto
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma função diferenciável
e um ponto
tal que . Isso garante que o conjunto de nível
é uma variedade de dimensão com espaço tangente em
bem definido. Queremos mostrar que, se
é uma curva diferenciável com
,
e
para todo
, então o vetor velocidade
pertence ao espaço tangente ao nível
em
.
e um ponto
tal que
é uma variedade de dimensão
Passo 2
Recordando a definição de espaço tangente ao nível
em
: como
, temos
Ou seja, é o subespaço de todos os vetores ortogonais a
.
Passo 3
Definimos a função real composta
Como
está sempre no nível
, segue que
para todo
. Logo
é constante e, em particular, sua derivada em
é zero:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para derivar
, obtemos
Em
, onde
e
, isso dá
Logo
satisfaz
, isto é,
.
Resposta
Concluímos que
pertence ao espaço tangente ao conjunto de nível
no ponto
.