Seja f: A R uma função definida em um subconjunto A subset R^n. Se f é uma função diferenciável e nabla f(a1, a2, ldots, an) neq 0, então o espaço tangente ao conjunto de nível c=f(x1, x2, ldots, xn) no ponto ( a1, a2, ldots, an ) existe. Mostre que se f: A R é uma função diferenciável com nabla f(a1, ldots, a2) neq 0 em A ; gamma: I R^n é uma curva diferenciável, com gamma(I) subset A e gamma(t0)=(a1, a2, ldots, an) pertencente ao conjunto de nível c, então dotgamma(t0) pertence ao espaço tangente ao conjunto de nível c no ponto (a1, a2, ldots, an).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma função diferenciável
fcolon AsubsetR^ntoR
e um ponto
a=(a1,dots,an)in A
tal que nabla f(a)neq 0. Isso garante que o conjunto de nível
xin Amid f(x)=c
é uma variedade de dimensão n-1 com espaço tangente em a bem definido. Queremos mostrar que, se gammacolon ItoR^n é uma curva diferenciável com gamma(I)subset A, gamma(t0)=a e f(gamma(t))=c para todo t, então o vetor velocidade dotgamma(t0) pertence ao espaço tangente ao nível c em a.

Passo 2

Recordando a definição de espaço tangente ao nível c em a: como nabla f(a)neq 0, temos
Tal(f^-1(c)r) =vinR^nmid Df(a)[v]=0 =vinR^nmid nabla f(a)cdot v=0
Ou seja, é o subespaço de todos os vetores ortogonais a nabla f(a).

Passo 3

Definimos a função real composta
h(t)=fl(gamma(t)r)
Como gamma(t) está sempre no nível c, segue que h(t)=c para todo t. Logo h é constante e, em particular, sua derivada em t0 é zero:
h'(t0)=0

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para derivar h(t)=f(gamma(t)), obtemos
h'(t) =Dfl(gamma(t)r)l[dotgamma(t)r] =nabla fl(gamma(t)r)cdotdotgamma(t)
Em t=t0, onde gamma(t0)=a e h'(t0)=0, isso dá
0 =h'(t0) =nabla f(a)cdotdotgamma(t0)
Logo dotgamma(t0) satisfaz nabla f(a)cdotdotgamma(t0)=0, isto é, dotgamma(t0)in Tal(f^-1(c)r).

Resposta

Concluímos que dotgamma(t0) pertence ao espaço tangente ao conjunto de nível c no ponto l(a1,dots,anr).

Exercícios relacionados