Calcule os limites.
lim x +infty(raiz[3]x+8 x^3-2 x)

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyl(raiz[3]x+8x^3-2xr)
Trata-se de uma forma do tipo infty-infty. Para resolver, vamos usar fatoração dentro da raiz cúbica e usar a expansão de (1+u)^1/3 para u pequeno.

Passo 2

Observe que
x+8x^3 = 8x^3l(1+tfrac18x^2r),
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raiz[3]x+8x^3 = raiz[3]8x^3;raiz[3]1+tfrac18x^2 =2x;raiz[3]1+tfrac18x^2
Portanto a expressão vira
2xl(raiz[3]1+tfrac18x^2-1r)

Passo 3

Para u=tfrac18x^2 pequeno, a expansão de Taylor dá
raiz[3]1+u = 1 + tfracu3 + O(u^2)
Substituindo,
raiz[3]1+tfrac18x^2-1 = tfrac13,tfrac18x^2 + Ol(tfrac1x^4r) = tfrac124x^2 + Ol(tfrac1x^4r)
Multiplicando por 2x,
2xl(raiz[3]1+tfrac18x^2-1r) = 2xl(tfrac124x^2+O(tfrac1x^4)r) = tfrac112x + Ol(tfrac1x^3r)

Passo 4

Como tfrac112xto0 quando xto+infty, concluímos que o limite vale 0.

Resposta

0

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