Decida se existe a derivada direcional da função f no ponto dado na direção do vetor u. Caso afirmativo, calcule a derivada direcional
f(x, y)=arctan xy no ponto (1,1) na direção do vetor u= \frac{1}{\sqrt{2}}(2,0)\

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=arctan!l(tfracxyr)
no ponto (1,1) na direção do vetor
vec u=tfrac1raiz2,(2,0)
O conteúdo envolvido é o conceito de derivada direcional a partir do gradiente, além de verificação de diferenciabilidade.

Passo 2

A função f é composição de operações suaves em regiões onde yneq0. Como em (1,1) temos y=1neq0, as derivadas parciais existem e são contínuas ali, logo f é diferenciável em (1,1) e, portanto, a derivada direcional existe em qualquer vetor de direção.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de f. Seja g(x,y)=x/y. Então
partial fpartial x =11+(x/y)^2,partialpartial x!l(tfracxyr) =11+tfracx^2y^2cdot1y =yx^2+y^2,
partial fpartial y =11+(x/y)^2,partialpartial y!l(tfracxyr) =11+tfracx^2y^2cdotl(-xy^2r) =-xx^2+y^2
Assim o gradiente é
nabla f(x,y) =l(tfracyx^2+y^2,,-tfracxx^2+y^2r)

Passo 4

No ponto (1,1) temos
nabla f(1,1) =l(tfrac12,,-tfrac12r)
O vetor dado é
vec u=tfrac1raiz2,(2,0) =(tfrac2raiz2,0)=(raiz2,0),
que não é unitário. Mas, pela definição de derivada direcional em direção a vec u, usamos
Dvec uf(1,1) =limhto0fl((1,1)+hvec ur)-f(1,1)h =nabla f(1,1)cdotvec u

Passo 5

Fazendo o produto escalar,
Dvec uf(1,1) =l(tfrac12,-tfrac12r)cdot(raiz2,0) =tfrac12,raiz2 +l(-tfrac12r),0 =tfracraiz22

Resposta

Existe e vale
boxedtfracraiz22

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