Decida se existe a derivada direcional da função
no ponto dado na direção do vetor
. Caso afirmativo, calcule a derivada direcional
no ponto
na direção do vetor
\frac{1}{\sqrt{2}}(2,0)\
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
O conteúdo envolvido é o conceito de derivada direcional a partir do gradiente, além de verificação de diferenciabilidade.
Passo 2
A função
é composição de operações suaves em regiões onde
. Como em
temos
, as derivadas parciais existem e são contínuas ali, logo
é diferenciável em
e, portanto, a derivada direcional existe em qualquer vetor de direção.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
. Seja
. Então
Assim o gradiente é
Passo 4
No ponto
temos
O vetor dado é
que não é unitário. Mas, pela definição de derivada direcional em direção a
, usamos
Passo 5
Fazendo o produto escalar,
Resposta
Existe e vale