Calcule os limites
lim x 12^- ln (1-2 x)tan (pi x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
L=limxto12^-ln(1-2x)tan(pi x).
O conteúdo envolvido é o tratamento de forma indeterminada do tipo “ -infty/,+infty”, e vamos usar mudança de variável junto a aproximações para pequenas grandezas.

Passo 2

Fazemos a substituição
h = tfrac12 - x,
de modo que xto12^- equivale a hto0^+.
Então
1-2x = 1 - 2l(tfrac12 - hr) = 2h,
e
tan(pi x) = tanl(pi(tfrac12 - h)r) = tanl(tfracpi2-pi hr) = cot(pi h)
Logo a expressão fica
ln(1-2x)tan(pi x) = ln(2h)cot(pi h) = ln(2h),tan(pi h)

Passo 3

Para hto0^+ temos as expansões
ln(2h) = ln2 + ln(h)sim ln(h) e tan(pi h)sim pi h,
pois tan(theta)approxtheta para thetato0.
Assim
ln(2h),tan(pi h) sim ln(h),l(pi hr) = pi,h,ln(h)
Sabemos que hln(h)to0 quando hto0^+. Portanto
pi,h,ln(h);longrightarrow;0

Resposta

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