Calcule os limites
lim x +infty x(pi2-arctan x)

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limx to +infty xl(pi2-arctan xr)
Percebemos que, para aplicar o Teorema de l’Hôpital, é mais simples reescrever o produto como um quociente que gera a forma indeterminada 0/0.

Passo 2

Reescrevendo o produto como quociente, temos
xl(tfracpi2-arctan xr) = tfracpi2-arctan x1/x
Quando xto+infty, o numerador tende a tfracpi2-tfracpi2=0 e o denominador 1/x tende a 0, logo a forma é 0/0.

Passo 3

Aplicamos o Teorema de l’Hôpital, diferenciando numerador e denominador em relação a x:
– Derivada do numerador tfracpi2-arctan x é
-11+x^2
– Derivada do denominador 1/x é
-1x^2
Assim o limite vira
limxto+infty -11+x^2-1x^2 = limxto+inftyx^21+x^2

Passo 4

Para xto+infty,
x^21+x^2to 1

Resposta

1

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