Questão 3 ( 3,0 pontos). Diga se é verdadeiro ou falso. Caso seja falso, justifique ou exiba um contraexemplo (pode esboçar um gráfico).
a) (0,6) Se f é descontínua em a, então lim x a^- f(x) neq lim x a^+ f(x).
b) (0,6) Se f é contínua com f(0)=3 e f(1)=5, então f(x)>0 para todo x in[0,1].
c) (0,6) A função e^1 / x não tem assíntota vertical.
d) (0,6) Se lim x a f(x) e lim x a g(x) não existem, então lim x a[f(x)+g(x)] também não existe.
e) (0,6) Se f é contínua em a, então lim x a^- f(x) existe.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre limites e continuidade e pede para identificarmos se cada uma é verdadeira ou falsa. Em caso de falsidade, devemos justificar ou dar um contraexemplo. Vamos usar conceitos de limite lateral, Teorema do Valor Intermediário, definição de assíntota vertical e propriedades de soma de funções.

Passo 2

Analisando (a): “Se
Então (porque ), mas
ou seja, as duas barras laterais coincidem.

Passo 3

Analisando (b): “Se f é contínua com f(0)=3 e f(1)=5, então f(x)>0 para todo xin[0,1].”
Isto também é falso. É possível que, apesar dos valores positivos nas extremidades, f desça até zero num ponto interior e depois suba de novo.
Contraexemplo: escolha
f(x)=16x^2-14x+3
Verifica-se f(0)=3, f(1)=5 e
fl(0,5r)=16cdot0,25-14cdot0,5+3=0
Logo f é contínua em [0,1] mas não satisfaz f(x)>0 para todo x.

Passo 4

Analisando (c): “A função e^1/x não tem assíntota vertical.”
Isto é falso. Em x=0 há comportamento infinito em pelo menos uma das laterais. De fato,
limxto0^+e^1/x =exp(+infty)=+infty,
o que caracteriza uma assíntota vertical em x=0.

Passo 5

Analisando (d): “Se limxto af(x) e limxto ag(x) não existem, então limxto a[f(x)+g(x)] também não existe.”
Isto é falso. Podemos ter divergências que se cancelam.
Contraexemplo: ponha
f(x)=sinl(1/xr), g(x)=-sinl(1/xr),
para xneq0. Nenhum dos limites individuais em 0 existe, mas
f(x)+g(x)=0
para todo xneq0, logo limxto0[f(x)+g(x)]=0.

Passo 6

Analisando (e): “Se f é contínua em a, então limxto a^-f(x) existe.”
Isto é verdadeiro. Continuidade em a implica que o limite de f(x) quando x se aproxima de a existe e é igual a f(a). Logo ambas as barreiras laterais, incluindo limxto a^-f(x), existem e coincidem com f(a).

Resposta

(a) Falsa. Contraexemplo: f(x)=x para xneq0, f(0)=1.
(b) Falsa. Contraexemplo: f(x)=16x^2-14x+3 em [0,1].
(c) Falsa. Em x=0 há assíntota vertical pois limxto0^+e^1/x=+infty.
(d) Falsa. Contraexemplo: f(x)=sin(1/x), g(x)=-sin(1/x).
(e) Verdadeira. Continuidade em a garante existência de limxto a^-f(x).

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