Questão 3 ( 3,0 pontos). Diga se é verdadeiro ou falso. Caso seja falso, justifique ou exiba um contraexemplo (pode esboçar um gráfico).
a)
Se
é descontínua em
, então
.
b)
Se
é contínua com
e
, então
para todo
.
c)
função
não tem assíntota vertical.
d)
Se
e
não existem, então
também não existe.
e)
Se
é contínua em
, então
existe.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre limites e continuidade e pede para identificarmos se cada uma é verdadeira ou falsa. Em caso de falsidade, devemos justificar ou dar um contraexemplo. Vamos usar conceitos de limite lateral, Teorema do Valor Intermediário, definição de assíntota vertical e propriedades de soma de funções.
Passo 2
Analisando (a): “Se
Então (porque
), mas
ou seja, as duas barras laterais coincidem.
Passo 3
Analisando (b): “Se
é contínua com
e
, então
para todo
.”
Isto também é falso. É possível que, apesar dos valores positivos nas extremidades, desça até zero num ponto interior e depois suba de novo.
Contraexemplo: escolha
Isto também é falso. É possível que, apesar dos valores positivos nas extremidades,
Contraexemplo: escolha
Verifica-se
,
e
Logo
é contínua em
mas não satisfaz
para todo
.
Passo 4
Analisando (c): “A função
não tem assíntota vertical.”
Isto é falso. Em há comportamento infinito em pelo menos uma das laterais. De fato,
Isto é falso. Em
o que caracteriza uma assíntota vertical em
.
Passo 5
Analisando (d): “Se
e
não existem, então
também não existe.”
Isto é falso. Podemos ter divergências que se cancelam.
Contraexemplo: ponha
Isto é falso. Podemos ter divergências que se cancelam.
Contraexemplo: ponha
para
. Nenhum dos limites individuais em
existe, mas
para todo
, logo
.
Passo 6
Analisando (e): “Se
é contínua em
, então
existe.”
Isto é verdadeiro. Continuidade em implica que o limite de
quando
se aproxima de
existe e é igual a
. Logo ambas as barreiras laterais, incluindo
, existem e coincidem com
.
Isto é verdadeiro. Continuidade em
Resposta
(a) Falsa. Contraexemplo:
para
,
.
(b) Falsa. Contraexemplo: em
.
(c) Falsa. Em há assíntota vertical pois
.
(d) Falsa. Contraexemplo: ,
.
(e) Verdadeira. Continuidade em garante existência de
.
(b) Falsa. Contraexemplo:
(c) Falsa. Em
(d) Falsa. Contraexemplo:
(e) Verdadeira. Continuidade em