a) (0,5) Determine o domínio da função f.
b) (0,5) Encontre os pontos de intersecção entre a curva y=f(x) e os eixos cartesianos.
c) (1,0) Faça a análise de sinal da função: diga em quais intervalos ela é positiva e em quais ela é negativa.
d) (2,0) Encontre os pontos de descontinuidade de f e diga se são do tipo salto, infinito ou removível. Justifique calculando os limites pertinentes.
e) (1,0) Determine as assíntotas horizontais da curva y=f(x). Justifique calculando os limites pertinentes.
e pede:
a) domínio,
b) interseções com os eixos,
c) análise de sinal,
d) descontinuidades (tipo e limites) e
e) assíntotas horizontais.]
Passo 2
Para achar o domínio, verificamos onde cada parte está bem definida: 1. Em x<3 o denominador é 2x^2-5x+2=2(x-tfrac12)(x-2), que zera em x=tfrac12 e x=2. Esses pontos não pertencem ao domínio. 2. Em x>=3 o radicando x^2+1>0 sempre e o denominador 2x+1 só zera em x=-tfrac12, mas -tfrac12<3, logo não afeta esta parte.
Portanto
Interseção com os eixos:
– Eixo y (x=0): como 0<3,
f(0)=3cdot0-4cdot0-42cdot0-5cdot0+2=-42=-2,
ponto (0,-2).
– Eixo x (f(x)=0): na parte x<3 o numerador é 3x^2-4x-4=0 em x=2 e x=-tfrac23. Em x=2 o denominador zera, não vale; em x=-tfrac23 dá zero. Na parte x>=3, raizx^2+1>0 nunca anula.
Logo interseção com x em l(-tfrac23,0r).
Passo 4
Análise de sinal em x<3:
– Numerador N=3x^2-4x-4 muda sinal em x=-tfrac23 e x=2.
– Denominador D=2(x-tfrac12)(x-2) muda sinal em x=tfrac12 e x=2.
Tabela (intervalos significativos -infty,-tfrac23,tfrac12,2,3):
c|ccccc x & -infty< x< -tfrac23 & -tfrac23<x<tfrac12 & tfrac12<x<2 & 2< x<3hline N & + & - & - & + D & + & + & - & +hline f=tfrac N D & + & - & + & +
Em x>=3, raizx^2+1>0 e 2x+1>0, logo f>0.
Concluímos:
f(x)>0 em (-infty,-tfrac23),cup,(tfrac12,3),cup,[3,infty), f(x)<0 em (-tfrac23,tfrac12)
Passo 5
Descontinuidades:
– x=tfrac12: denominador to0, numerador to-5,25neq0, limites pminfty. É descontinuidade infinita (assimptota vertical).
– x=2: tanto Nto0 quanto Dto0. Simplificando
a) (-infty,tfrac12)cup(tfrac12,2)cup(2,3)cup[3,infty)
b) Interseção com y: (0,-2). Interseção com x: l(-tfrac23,0r).
c) f(x)>0 em (-infty,-tfrac23)cup(tfrac12,3)cup[3,infty), f(x)<0 em (-tfrac23,tfrac12).
d) Descontinuidades em x=tfrac12 (infinita), x=2 (removível), x=3 (salto).
e) Assíntotas horizontais y=tfrac32 para xto-infty e y=tfrac12 para xto+infty.