Questão 1 ( 5,0 pontos). Considere a função
f(x)= 2 x^2-3 x+13 x^2-x-2 & se x<2 raizx^2-11-2 x & se x >= 2
a) (0,5) Determine o domínio da função f.
b) (0,5) Encontre os pontos de intersecção entre a curva y=f(x) e os eixos cartesianos.
c) (1,0) Faça a análise de sinal da função: diga em quais intervalos ela é positiva e em quais ela é negativa.
d) (2,0) Encontre os pontos de descontinuidade de f e diga se são do tipo salto, infinito ou removível. Justifique calculando os limites pertinentes.
e) (1,0) Determine as assíntotas horizontais da curva y=f(x). Justifique calculando os limites pertinentes.

Passo 1

A função dada é f(x)= (2x2–3x+1)/(3x2–x) –2 para x<2 e f(x)= √(x^2–1)/(1–2x) para x≥2. Vamos usar análise de domínio, equações algébricas para interseções, estudo de sinais via fatoração, limites para descontinuidades e assíntotas.

Passo 2

Para achar o domínio, vemos no ramo x<2 que 3x^2–x≠0 ⇒ x≠0 e x≠1/3. E x deve ser <2. No ramo x≥2, precisamos de x^2–1≥0 ⇒ x≤–1 ou x≥1, mas como x≥2 já satisfaz isso, e 1–2x≠0 dá x≠1/2 (irrelevante para x≥2). Logo o domínio é: (-∞,0)∪(0,1/3)∪(1/3,2)∪[2,∞).

Passo 3

Para intersecção com o eixo x, igualamos f(x)=0 em x<2:

Passo 4

2x^2-3x+13x^2-x-2=0

Passo 5

que simplifica a

Passo 6

-4x^2-x+13x^2-x=0

Passo 7

cujo numerador zera em x = [-1 ±√17]/8 ≈ -0.6404 e 0.3904, ambos <2 e não cancelando o denominador. Não há raiz em x≥2 pois √(x^2–1)>0. Para x=0 (eixo y), x não pertence ao domínio, logo sem interseção y.

Passo 8

Para o sinal em x<2, escrevemos

Passo 9

f(x)=N(x)D(x), N(x)=-4x^2-x+1,;D(x)=x(3x-1)

Passo 10

As raízes de N são x≈-0.6404 e x≈0.3904; zeros de D em x=0 e x=1/3. Fazendo o quadro de sinais encontramos:

Passo 11

(-∞, -0.6404): f<0;

Passo 12

(-0.6404,0): f>0;

Passo 13

(0,1/3): f<0;

Passo 14

(1/3,0.3904): f>0;

Passo 15

(0.3904,2): f<0. Em x≥2, √(x^2–1)>0 e 1–2x<0, logo f(x)<0 para todo x≥2.

Passo 16

As descontinuidades ocorrem em x=0 e x=1/3 (denominador zero) e em x=2 (troca de ramo). Calculando limites em 0: f→+∞ pela esquerda e f→–∞ pela direita ⇒ descontinuidade infinita. Em x=1/3: f→–∞ pela esquerda e +∞ pela direita ⇒ infinita. Em x=2:

Passo 17

limxto2^-f(x)=-4·2^2-2+13·2^2-2=-1710, f(2)=raiz31-4=-raiz33,

Passo 18

limxto2^+f(x)=f(2)=-raiz33,

Passo 19

daí há salto pois limites laterais diferentes.

Passo 20

Para assíntotas horizontais, analisamos x→-∞ no ramo x<2:

Passo 21

limxto-inftyf(x)=lim-4x^2- x+13x^2-x=-43

Passo 22

Em x→+∞ (ramo x≥2):

Passo 23

limxto+inftyraizx^2-11-2x=-12

Resposta

a) Domínio: (-∞,0)∪(0,1/3)∪(1/3,2)∪[2,∞).
b) Interseção com eixo x em x = [-1±√17]/8 (≈-0.6404 e ≈0.3904), sem interseção com eixo y.
c) f(x)<0 em (-∞, -0.6404), (0,1/3), (0.3904,∞); f(x)>0 em (-0.6404,0) e (1/3,0.3904).
d) Descontinuidades em x=0 e x=1/3 (tipo infinito) e em x=2 (salto).
e) Assíntotas horizontais: y=-4/3 para x→-∞ e y=-1/2 para x→+∞.

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