Questão 1 ( 5,0 pontos). Considere a função
a)
Determine o domínio da função
.
b)
Encontre os pontos de intersecção entre a curva
e os eixos cartesianos.
c)
Faça a análise de sinal da função: diga em quais intervalos ela é positiva e em quais ela é negativa.
d)
Encontre os pontos de descontinuidade de
e diga se são do tipo salto, infinito ou removível. Justifique calculando os limites pertinentes.
e)
Determine as assíntotas horizontais da curva
. Justifique calculando os limites pertinentes.
b)
c)
d)
e)
Passo 1
A função dada é f(x)= (2x2–3x+1)/(3x2–x) –2 para x<2 e f(x)= √(x^2–1)/(1–2x) para x≥2. Vamos usar análise de domínio, equações algébricas para interseções, estudo de sinais via fatoração, limites para descontinuidades e assíntotas.
Passo 2
Para achar o domínio, vemos no ramo x<2 que 3x^2–x≠0 ⇒ x≠0 e x≠1/3. E x deve ser <2. No ramo x≥2, precisamos de x^2–1≥0 ⇒ x≤–1 ou x≥1, mas como x≥2 já satisfaz isso, e 1–2x≠0 dá x≠1/2 (irrelevante para x≥2). Logo o domínio é: (-∞,0)∪(0,1/3)∪(1/3,2)∪[2,∞).
Passo 3
Para intersecção com o eixo x, igualamos f(x)=0 em x<2:
Passo 4
Passo 5
que simplifica a
Passo 6
Passo 7
cujo numerador zera em x = [-1 ±√17]/8 ≈ -0.6404 e 0.3904, ambos <2 e não cancelando o denominador. Não há raiz em x≥2 pois √(x^2–1)>0. Para x=0 (eixo y), x não pertence ao domínio, logo sem interseção y.
Passo 8
Para o sinal em x<2, escrevemos
Passo 9
Passo 10
As raízes de N são x≈-0.6404 e x≈0.3904; zeros de D em x=0 e x=1/3. Fazendo o quadro de sinais encontramos:
Passo 11
(-∞, -0.6404): f<0;
Passo 12
(-0.6404,0): f>0;
Passo 13
(0,1/3): f<0;
Passo 14
(1/3,0.3904): f>0;
Passo 15
(0.3904,2): f<0. Em x≥2, √(x^2–1)>0 e 1–2x<0, logo f(x)<0 para todo x≥2.
Passo 16
As descontinuidades ocorrem em x=0 e x=1/3 (denominador zero) e em x=2 (troca de ramo). Calculando limites em 0: f→+∞ pela esquerda e f→–∞ pela direita ⇒ descontinuidade infinita. Em x=1/3: f→–∞ pela esquerda e +∞ pela direita ⇒ infinita. Em x=2:
Passo 17
Passo 18
Passo 19
daí há salto pois limites laterais diferentes.
Passo 20
Para assíntotas horizontais, analisamos x→-∞ no ramo x<2:
Passo 21
Passo 22
Em x→+∞ (ramo x≥2):
Passo 23
Resposta
a) Domínio: (-∞,0)∪(0,1/3)∪(1/3,2)∪[2,∞).
b) Interseção com eixo x em x = [-1±√17]/8 (≈-0.6404 e ≈0.3904), sem interseção com eixo y.
c) f(x)<0 em (-∞, -0.6404), (0,1/3), (0.3904,∞); f(x)>0 em (-0.6404,0) e (1/3,0.3904).
d) Descontinuidades em x=0 e x=1/3 (tipo infinito) e em x=2 (salto).
e) Assíntotas horizontais: y=-4/3 para x→-∞ e y=-1/2 para x→+∞.
b) Interseção com eixo x em x = [-1±√17]/8 (≈-0.6404 e ≈0.3904), sem interseção com eixo y.
c) f(x)<0 em (-∞, -0.6404), (0,1/3), (0.3904,∞); f(x)>0 em (-0.6404,0) e (1/3,0.3904).
d) Descontinuidades em x=0 e x=1/3 (tipo infinito) e em x=2 (salto).
e) Assíntotas horizontais: y=-4/3 para x→-∞ e y=-1/2 para x→+∞.