Calcule os limites
lim x 0 e^x^3-1x-arctan x

Passo 1

O enunciado pede
limxto0e^x^3-1,x-arctan x,
O conteúdo principal é usar séries de Taylor (Maclaurin) para e^x^3 e arctan x em torno de x=0.

Passo 2

Primeiro, expandimos e^x^3 em série de Maclaurin. Com t=x^3, temos
e^x^3 = 1 + x^3 + (x^3)^22 + O(x^9) = 1 + x^3 + O(x^6)
Logo, o numerador vira
e^x^3-1 = x^3 + O(x^6)

Passo 3

Agora, expandimos arctan x. A série de Maclaurin até a ordem x^5 é
arctan x = x - x^33 + O(x^5)
Portanto
x - arctan x = x - l(x - x^33 + O(x^5)r) = x^33 + O(x^5)

Passo 4

Formamos a razão das expansões:
e^x^3-1,x-arctan x, = x^3 + O(x^6)tfracx^33 + O(x^5) = x^3l(1+O(x^3)r)x^3l(tfrac13+O(x^2)r) = 1+O(x^3)tfrac13+O(x^2)
Quando xto0, o numerador tende a 1 e o denominador tende a tfrac13.

Passo 5

Concluímos que
limxto0e^x^3-1,x-arctan x, = 11/3 = 3

Resposta

3

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