Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado por
, em que
é o lucro total,
é a receita total e
é o custo total da produção. Supondo que a empresa produziu
unidades, verificouse que
. Qual é o lucro máximo da empresa?
Passo 1
O enunciado nos dá as funções de receita e custo em função da produção
:
e pede o lucro máximo. Isso é um problema de otimização de função polinomial, que vamos resolver usando derivadas.
Passo 2
Definimos a função lucro
Ao simplificar, obtemos
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Para achar o ponto crítico, igualamos a zero:
Passo 4
Para confirmar que é máximo, usamos a segunda derivada:
ou seja,
é côncava para baixo e
é ponto de máximo. Calculamos então
Resposta
O lucro máximo da empresa é
.