Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado por L=R-C, em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Supondo que a empresa produziu x unidades, verificouse que R(x)=6000 x-x^2 e C(x)=x^2-2000 x. Qual é o lucro máximo da empresa?

Passo 1

O enunciado nos dá as funções de receita e custo em função da produção x:
R(x)=6000x - x^2, C(x)=x^2-2000x,
e pede o lucro máximo. Isso é um problema de otimização de função polinomial, que vamos resolver usando derivadas.

Passo 2

Definimos a função lucro
L(x)=R(x)-C(x)=l(6000x - x^2r)-l(x^2 - 2000xr)
Ao simplificar, obtemos
L(x)=-2x^2+8000x

Passo 3

Calculamos a derivada de L:
L'(x)=ddxl(-2x^2+8000xr)=-4x+8000
Para achar o ponto crítico, igualamos a zero:
-4x+8000=0 Longrightarrow x=2000

Passo 4

Para confirmar que é máximo, usamos a segunda derivada:
L''(x)=ddx(-4x+8000)=-4<0,
ou seja, L é côncava para baixo e x=2000 é ponto de máximo. Calculamos então
L(2000)=-2,(2000)^2+8000,(2000)=-8,000,000+16,000,000=8,000,000

Resposta

O lucro máximo da empresa é 8,000,000.

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