Resolva as equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é d yd x = x^21+y^2. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais e, mais especificamente, com equações separáveis. Isso significa que podemos separar os termos que envolvem y dos que envolvem x para facilitar a resolução. Para isso, vamos reorganizar a equação de forma que todos os termos de y fiquem de um lado e os de x do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados da equação por 1 + y^2 para separar as variáveis:
(1 + y^2) d yd x = x^2
Agora, podemos reescrever a equação como:
(1 + y^2) dy = x^2 dx
Isso mostra que conseguimos separar os termos de y e x, o que nos permite integrar ambos os lados da equação.

Passo 3

Agora, vamos integrar os dois lados da equação separada:
integral (1 + y^2) , dy = integral x^2 , dx
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 4

Primeiro, a integral do lado esquerdo:
integral (1 + y^2) , dy = integral 1 , dy + integral y^2 , dy = y + y^33 + C1
Aqui, usamos a regra básica de integração para polinômios.

Passo 5

Agora, a integral do lado direito:
integral x^2 , dx = x^33 + C2
Novamente, aplicamos a regra de integração para x^2.

Passo 6

Colocando tudo junto, temos:
y + y^33 + C1 = x^33 + C2
Podemos simplificar as constantes, combinando C1 e C2 em uma única constante C:
y + y^33 = x^33 + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y + y^33 = x^33 + C
onde C é a constante de integração.

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