Calcule os limites
lim x pi2(tan x sec x-sec ^2 x)

Passo 1

O enunciado pede
limxto pi2l(tan xsec x-sec^2 xr)
Para resolver, vamos usar identidades trigonométricas básicas ( tan x=sin xcos x, sec x=1cos x) e técnicas de eliminação de indeterminação 0/0.

Passo 2

Reescrevendo tudo em função de seno e cosseno:
tan x,sec x=sin xcos xcdot1cos x=sin xcos^2 x, sec^2 x=1cos^2 x
Logo
tan xsec x-sec^2 x =sin xcos^2 x-1cos^2 x =sin x-1cos^2 x
Nesse ponto vemos que, ao aproximar xtopi2, numerador e denominador vão a zero, configurando uma indeterminação 0/0.

Passo 3

Para retirar a indeterminação, observe que
sin x-1=-(1-sin x) e 1-sin x=cos^2 x1+sin x,
sendo essa última a fatoração pelo conjugado de 1-sin x. Portanto
sin x-1 =-cos^2 x1+sin x

Passo 4

Substituindo em sin x-1cos^2 x:
sin x-1cos^2 x =-cos^2 x1+sin xcos^2 x =-11+sin x
Agora não há mais indeterminação, e basta avaliar em x=pi2:
sinl(tfracpi2r)=1 Longrightarrow -11+sin xl|x=pi2 =-11+1 =-tfrac12

Resposta

-tfrac12

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