1. y^prime=i^2 / y(1+t^3), y(0)=y0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = i^2y,(1+t^3),
com condição inicial y(0)=y0.
Este é um caso de equação diferencial de variáveis separáveis.

Passo 2

Separamos as variáveis colocando todos os y de um lado e todos os t do outro:
y,dydt = i^21+t^3 Longrightarrow y,dy = i^21+t^3,dt
Agora integramos ambos os lados:
integral y,dy = integral i^21+t^3,dt Longrightarrow y^22 = i^2integral dt1+t^3 + C

Passo 3

Usamos a condição inicial y(0)=y0 para determinar C. Em t=0 temos
y0^22 = i^2integral,cdot^0ds1+s^3 + C ;Longrightarrow; C = y0^22
Logo a relação é
y^22 = i^2integral0^tds1+s^3 + y0^22

Passo 4

Isolando y, fica
y^2 = y0^2 + 2,i^2integral0^tds1+s^3 Longrightarrow y(t) = pmraiz,y0^2 + 2,i^2integral0^tds1+s^3,
Como i^2=-1, a forma mais usada é
y(t)=pmraiz,y0^2 - 2integral0^tds1+s^3,,
escolhendo o sinal de modo que y(0)=y0.

Resposta

ou, usando ,
com o sinal escolhido para garantir .

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