O lucro diário da cantina Lanche Bom, pela venda de x lanches, é dado por L(x)=-(x-5) cdot(x-20).
a) Qual a quantidade de lanches a ser vendida para que a cantina tenha lucro máximo?
b) Qual a quantidade de lanches a ser vendida para que a cantina não tenha lucro e nem prejuízo?

Passo 1

O enunciado dá a função lucro diário da cantina como
L(x)=-(x-5),(x-20)
onde x é o número de lanches vendidos.
Conteúdo: estudo de quadrática e máximo de função. Para resolver, vamos reescrever L(x) em forma canônica (ou usar a fórmula do vértice) e depois achar as raízes para L(x)=0.

Passo 2

Expandimos a expressão para identificar os coeficientes da quadrática.
L(x)=-(x^2 -25x +100)
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L(x)=-x^2 +25x -100
Aqui temos uma parábola com coeficiente a=-1 e b=25.

Passo 3

O lucro máximo ocorre no vértice da parábola. A abscissa do vértice é dada por
xv = -b2a = -252cdot(-1) = 12,5
Portanto, para ter lucro máximo, deve-se vender 12,5 lanches (no modelo contínuo).

Passo 4

Para encontrar quando não há lucro nem prejuízo, resolvemos L(x)=0:
-(x-5)(x-20)=0
Isso dá as raízes
x-5=0Rightarrow x=5,
x-20=0Rightarrow x=20

Resposta

(a) 12,5 lanches.
(b) 5 lanches ou 20 lanches.

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