Calcule os limites
lim x 0 x sin x+2 x^2e^x+e^-x-2

Passo 1

O enunciado pede
limx to 0 xsin x + 2x^2e^x + e^-x - 2
Note que, ao substituir x=0, o numerador e o denominador valem zero, então temos a forma indeterminada 0/0. Vamos usar a regra de L’Hôpital, que diz que
limxto 0f(x)g(x) =limxto 0f'(x)g'(x)
quando lim f(x)=lim g(x)=0.

Passo 2

Derivando numerador e denominador uma vez:
ddxl(xsin x + 2x^2r) = sin x + xcos x + 4x,
ddxl(e^x + e^-x-2r) = e^x - e^-x
Ao avaliar em xto0, temos
sin0 + 0cdotcos0 +4cdot0 =0
e
e^0 - e^0 =0,
logo ainda é 0/0. Podemos aplicar L’Hôpital de novo.

Passo 3

Derivando pela segunda vez:
ddxl(sin x + xcos x +4xr) = cos x + cos x - xsin x +4 =2cos x - xsin x +4,
ddxl(e^x - e^-xr) = e^x + e^-x
Agora, ao fazer xto0:
2cos0 - 0cdotsin0 +4 =2cdot1 +4 =6,
e^0 + e^0 =1+1 =2

Passo 4

Pela regra de L’Hôpital aplicada duas vezes,
limxto0xsin x +2x^2e^x+e^-x-2 =62=3

Resposta

3

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