Determine se cada uma das funções abaixo é par, ímpar, ou não se em quandram em nenhuma destas classificações (Justifique sua resposta).
y(t)=a t^2+b t+c onde a, b e c são constantes

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função y(t) = a t^2 + b t + c , onde a , b e c são constantes. Precisamos descobrir se essa função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Para isso, vamos usar os conceitos de funções pares e ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função par. Uma função é par se, ao substituir t por -t , a função não muda. Ou seja, y(-t) = y(t) .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é uma função ímpar. Uma função é ímpar se, ao substituir t por -t , a função vira o negativo dela mesma. Ou seja, y(-t) = -y(t) .

Passo 4

Vamos aplicar essas definições na nossa função y(t) = a t^2 + b t + c . Primeiro, substituímos t por -t :
y(-t) = a (-t)^2 + b (-t) + c = a t^2 - b t + c

Passo 5

Agora, comparamos y(-t) com y(t) para verificar se a função é par:
y(-t) = a t^2 - b t + c y(t) = a t^2 + b t + c
Para que a função seja par, deve ser que y(-t) = y(t) . Igualando:
a t^2 - b t + c = a t^2 + b t + c
Isso simplifica para:
- b t = b t Rightarrow -b = b Rightarrow b = 0
Então, a função é par se b = 0 .

Passo 6

Agora, vamos verificar se a função é ímpar comparando y(-t) com -y(t) :
y(-t) = a t^2 - b t + c -y(t) = -a t^2 - b t - c
Para que a função seja ímpar, deve ser que y(-t) = -y(t) . Igualando:
a t^2 - b t + c = -a t^2 - b t - c
Isso resulta em:
a t^2 = -a t^2 Rightarrow 2a t^2 = 0 Rightarrow a = 0 c = -c Rightarrow 2c = 0 Rightarrow c = 0
Portanto, a função é ímpar se a = 0 e c = 0 .

Resposta

A função y(t) = a t^2 + b t + c é:
  • Par se b = 0 ;
  • Ímpar se a = 0 e c = 0 ;
  • Não se enquadra em nenhuma dessas classificações se não atender às condições acima.

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