Calcule os limites
lim x 0(1+sin (2 x))^1sin x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0l(1+sin(2x)r)^1sin x
O conteúdo principal aqui é tratar a forma indeterminada 1^infty usando a função exponencial e a transformação exp(ln(cdot)).

Passo 2

Transformamos a expressão em exponencial para explorar limites de logaritmo:
l(1+sin(2x)r)^1sin x =exp!gl(lnl(1+sin(2x)r)^1sin xgr) =exp!l(tfrac1sin x,lnl(1+sin(2x)r)r)
Portanto, basta calcular
L=limxto0lnl(1+sin(2x)r)sin x
e depois usar exp(L).

Passo 3

Para achar L, note que para yto0 vale ln(1+y)sim y. Aqui y=sin(2x)to0, então
lnl(1+sin(2x)r)sin x simsin(2x)sin x =2sin xcos xsin x =2cos x
Fazendo xto0 obtemos
L=limxto02cos x=2

Passo 4

Como o limite do expoente é L=2, o limite original é
exp(L)=exp(2)=e^2

Resposta

e^2

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