Encontre um fator integrante para a equação
(3 x y+y^2)+(x^2+x y) y^prime=0
e, depois, resolva a equação.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(3xy + y^2r) + l(x^2 + xyr)y' = 0
e pede um fator integrante e a solução geral. Aqui o conteúdo é exatidão de equações diferenciais e uso de fator integrante.

Passo 2

Escrevemos M(x,y)=3xy+y^2 e N(x,y)=x^2+xy. Para testar exatidão, calculamos
partial Mpartial y=3x+2y, partial Npartial x=2x+y
Como 3x+2yneq 2x+y, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu que dependa só de x. Usamos a condição
1Nl(My - Nxr) =(3x+2y)-(2x+y)x^2+xy =x+yx(x+y) =1x,
que de fato depende apenas de x. Logo
mu(x)=exp!gl(integral1x,dxgr) =exp(ln|x|) =|x|,
e, desprezando o valor absoluto para xneq0, tomamos mu(x)=x.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por x, obtendo
l(3x^2y + xy^2r) + l(x^3 + x^2yr)y' =0
Agora M^*(x,y)=3x^2y+xy^2 e N^*(x,y)=x^3+x^2y satisfazem
partial M^*partial y=3x^2+2xy, partial N^*partial x=3x^2+2xy,
ou seja, a equação é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que
phix = M^*=3x^2y+xy^2
Integramos em x:
phi(x,y)=integral(3x^2y+xy^2),dx =x^3y+x^2y^22+h(y)
Em seguida exigimos phiy=N^*=x^3+x^2y. Calculando
phiy = x^3 + x^2y + h'(y)
e comparando com N^* vemos que h'(y)=0. Logo h(y) é constante.

Passo 6

A solução geral vem de
phi(x,y)=x^3y+x^2y^22=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x^3y+x^2y^22=C

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