Encontre um fator integrante para a equação
e, depois, resolva a equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede um fator integrante e a solução geral. Aqui o conteúdo é exatidão de equações diferenciais e uso de fator integrante.
Passo 2
Escrevemos
e
. Para testar exatidão, calculamos
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que dependa só de
. Usamos a condição
que de fato depende apenas de
. Logo
e, desprezando o valor absoluto para
, tomamos
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
Agora
e
satisfazem
ou seja, a equação é exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
Integramos em
:
Em seguida exigimos
. Calculando
e comparando com
vemos que
. Logo
é constante.
Passo 6
A solução geral vem de
onde
é constante arbitrária.