Calcule os limites
lim x 0^+(sin x)^1ln x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0^+(sin x)^1ln x
O conteúdo aqui é limites de funções da forma f(x)^g(x), que costumam ser tratadas aplicando a função logaritmo para transformar em indeterminação do tipo 1^infty para uma forma exponencial.

Passo 2

Definimos
y = (sin x)^1ln x
Para lidar com a potência, tomamos o logaritmo natural em ambos os lados:
ln y = 1ln x,ln(sin x)
Assim, nossa tarefa passa a ser encontrar
limxto0^+ln y = limxto0^+ln(sin x)ln x

Passo 3

Para avaliar
limxto0^+ln(sin x)ln x,
usamos o fato de que, quando xto0,
sin xsim x.
Logo
ln(sin x) = lnl(xcdot(1+o(1))r) = ln x + ln(1+o(1)) = ln x + o(1),
onde o(1) é uma pequena quantidade que tende a zero. Portanto
ln(sin x)ln x = ln x + o(1)ln x = 1 + o(1)ln x
Como ln xto -infty, temos tfraco(1)ln xto0. Assim
limxto0^+ln(sin x)ln x=1

Passo 4

Voltando à expressão para ln y, concluímos
limxto0^+ln y = 1
Como y=exp(ln y), tem-se
limxto0^+y = expl(limxto0^+ln yr) = e^1 = e

Resposta

limxto0^+(sin x)^1ln x = e

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