Calcule os limites
lim x 0(x sin x)^tan x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limx to 0 (x sin x)^tan x
Isso é um caso de forma indeterminada 0^0. Para resolver, vamos usar a técnica de escrever a potência como exponencial, ou seja,
a^b = e^bln a,
e depois expandir em série de Taylor as funções ln(xsin x) e tan x.

Passo 2

Reescrevendo a expressão em forma de exponencial, temos
(x sin x)^tan x = expl(tan x cdot ln(xsin x)r)
Para encontrar o limite, basta estudar
L = limxto0 l[tan x;ln(xsin x)r]

Passo 3

Calculemos ln(xsin x). Escreva
ln(xsin x) = ln x + ln(sin x)
Como sin x = x,(1 - x^2/6 + o(x^2)),
ln(sin x) = ln x + lnl(1 - tfracx^26 + o(x^2)r) = ln x - tfracx^26 + o(x^2)
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ln(xsin x) = ln x + l(ln x - tfracx^26 + o(x^2)r) = 2ln x - tfracx^26 + o(x^2)

Passo 4

Agora expandimos tan x em série de Taylor em torno de 0:
tan x = x + tfracx^33 + o(x^3)

Passo 5

Multiplicamos as expansões:
tan x cdot ln(xsin x) = l(x + tfracx^33 + o(x^3)r),l(2ln x - tfracx^26 + o(x^2)r)
O termo dominante é
2xln x,
e como limxto0 xln x = 0, concluímos que
L = limxto0 tan x,ln(xsin x) = 0

Passo 6

Voltando à exponencial,
limxto0 (xsin x)^tan x = expl(limxto0 tan x,ln(xsin x)r) = exp(0) = 1

Resposta

1

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