Determine se cada uma das funções abaixo é par, ímpar, ou não se em quandram em nenhuma destas classificações (Justifique sua resposta).
y(t)=cos (sin (t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar se a função y(t) = cos(sin(t)) é par, ímpar ou nenhuma das duas. Para isso, vamos precisar entender o que são funções pares e ímpares e como testar isso usando as propriedades dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser par ou ímpar:
  • Função Par: Uma função f é par se f(-x) = f(x) para todo x . Graças à simetria, seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
  • Função Ímpar: Uma função f é ímpar se f(-x) = -f(x) para todo x . Nesse caso, o gráfico é simétrico em relação à origem.
Vamos aplicar isso à nossa função y(t) = cos(sin(t)) .

Passo 3

Primeiro, vamos substituir t por -t na função:
y(-t) = cos(sin(-t))
Sabemos que sin(-t) = -sin(t) porque o seno é uma função ímpar.
Então:
y(-t) = cos(-sin(t))

Passo 4

Agora, usamos a propriedade do cosseno, que é uma função par. Ou seja, cos(-x) = cos(x) .
Aplicando isso:
y(-t) = cos(-sin(t)) = cos(sin(t)) = y(t)

Passo 5

Observamos que y(-t) = y(t) , o que satisfaz a definição de uma função par. Portanto, a função y(t) = cos(sin(t)) é uma função par.

Resposta

A função y(t) = cos(sin(t)) é par.

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