Calcule os limites
lim x 0(e^x+3 x)^1x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 0(e^x+3x)^1/x.
Estamos diante de um limite de forma indeterminada 1^infty, e vamos usar a técnica de “levar ao exponencial” via logaritmo natural e expansão em série de Taylor.

Passo 2

Observe que quando xto0 temos
e^x+3x longrightarrow 1 + 0 = 1
e o expoente 1/xtoinfty, caracterizando a indeterminação 1^infty. Para resolver, definimos
L = limxto0(e^x+3x)^1/x
e estudamos
ln L = limxto0lnl(e^x+3xr)x

Passo 3

Em seguida, vamos expandir e^x+3x em série de Taylor até ordem x^2. Primeiro,
e^x = 1 + x + x^22 + O(x^3),
portanto
e^x + 3x = 1 + 4x + x^22 + O(x^3)

Passo 4

Agora aplicamos a expansão de ln(1+u) com
u = 4x + x^22 + O(x^3),
sabendo que
ln(1+u) = u - u^22 + O(u^3)
Calculamos
u^2 = l(4x + tfracx^22r)^2 = 16x^2 + O(x^3),
e então
lnl(e^x+3xr) = l(4x + tfracx^22r) - 12l(16x^2r) + O(x^3) = 4x - 152x^2 + O(x^3)

Passo 5

Dividindo por x, fica
lnl(e^x+3xr)x = 4 - 152x + O(x^2)
e, ao fazer xto0, obtemos
limxto0lnl(e^x+3xr)x = 4
Logo ln L = 4, ou seja L = e^4.

Resposta

e^4

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