y^{\prime}=2 y^{2}+x y^{2} . \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' = 2,y^2 + x,y^2
com a condição inicial y(0)=1.
O conteúdo aqui é EDO separável, ou seja, podemos escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro antes de integrar.

Passo 2

Primeiro fatoramos y^2 no lado direito para ver a separação com clareza:
y' = y^2,(2 + x)
Como y' = dydx, isso fica
dydx = y^2,(2 + x)

Passo 3

Agora colocamos todos os termos em y no lado esquerdo e todos os termos em x no lado direito:
1y^2,dy = (2 + x),dx
Essa é a forma separável padrão.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral 1y^2,dy = integral (2 + x),dx
No lado esquerdo temos
integral y^-2,dy = -,1y,
e no direito
integral (2 + x),dx = 2x + x^22 + C
Logo,
-,1y = 2x + x^22 + C

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=1. Em x=0 e y=1 temos
-,11 = 0 + 0 + C Longrightarrow C = -1
Substituindo em -1/y obtém-se
-,1y = 2x + x^22 - 1

Passo 6

Multiplicando por -1 e invertendo, chegamos a
1y = 1 - 2x - x^22 Longrightarrow y = 1,1 - 2x - tfracx^22,
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por 2:
y(x) = 2,2 - 4x - x^2,

Resposta

y(x) = 1,1 - 2x - tfracx^22, (ou;;y(x)=tfrac22 - 4x - x^2)

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