Calcule os limites
lim x 0(sin xx)^1 / x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
L = limxto 0l(sin xxr)^1/x
O conteúdo é análise de limites do tipo 1^infty, e vamos usar a transformação logarítmica combinada com equivalências de séries para obter o resultado.

Passo 2

Tomamos logaritmo natural para transformar a forma indeterminada em algo do tipo 0/0. Seja
L = limxto 0l(sin xxr)^1/x
Então
ln L = limxto0lnl(sin x / xr)x,
e ao final teremos L = exp(ln L).

Passo 3

Para avaliar
limxto0ln(sin x / x)x, usamos o desenvolvimento em série de sin x:
sin x = x - x^36 + o(x^3)
Dividindo por x,
sin xx = 1 - x^26 + o(x^2)
Agora aplicamos logaritmo:
ln!l(sin xxr) = -x^26 + o(x^2)
Finalmente dividimos por x:
ln(sin x / x)x = -x6 + o(x),
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limxto0ln(sin x / x)x = 0

Passo 4

Como ln L = 0, concluímos
L = exp(0) = 1

Resposta

1

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