Resolva as seguintes inequações:
x^2+5 xx+1<3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x^2+5xx+1 < 3
Aqui o conteúdo é inequações racionais. Vamos precisar determinar o domínio, transformar tudo em uma única fração e analisar sinais de numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio da expressão. Como há uma divisão por x+1, precisamos ter
x+1 neq 0 Longrightarrow x neq -1

Passo 3

Trazemos o 3 para o lado esquerdo sob o mesmo denominador:
x^2+5xx+1 - 3 < 0 Longrightarrow x^2+5x - 3(x+1)x+1 < 0
No numerador, fazemos a distribuição:
x^2+5x - 3x - 3 = x^2 + 2x - 3
Logo a inequação vira
x^2 + 2x - 3x+1 < 0

Passo 4

Fatoramos o numerador x^2+2x-3. As raízes são soluções de
x^2+2x-3=0 Longrightarrow x = 1 ou x=-3,
então
x^2+2x-3 = (x-1)(x+3)
A inequação fica
(x-1)(x+3)x+1 < 0

Passo 5

Determinamos os pontos críticos onde cada fator muda de sinal:
x = -3, x = -1, x = 1
Fazemos o quadro de sinais nos intervalos determinados por esses pontos:
Intervalo Sinal de (x-1) Sinal de (x+3) Sinal de (x+1) Sinal da fração
(-infty,-3) +div = (-3,-1) + div = + (-1,1) + + div + = (1,infty) + + + +div + = +
Procuramos onde a fração é negativa. Isso ocorre em
(-infty,-3)e(-1,1)
Não incluímos os pontos críticos porque em x=-1 a expressão não existe e em x=-3 ou x=1 a fração vale zero, mas queremos estritamente menor que zero.

Resposta

boxed(-infty,-3),cup,(-1,1)

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