Calcule os limites
lim x 0^+(1+1x)^x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0^+l(1+1xr)^x
Esse tipo de limite envolve uma forma indeterminada do tipo infty^0, então vamos usar a transformação pelo logaritmo natural para resolver.

Passo 2

Defina
L = limxto0^+l(1+1xr)^x
Como xto0^+ faz 1xto+infty, o termo interno tende a +infty e o expoente tende a 0, caracterizando a forma infty^0.

Passo 3

Tome o logaritmo natural de L:
ln L = limxto0^+ x;ln!l(1+tfrac1xr)

Passo 4

Para calcular limxto0^+ xlnl(1+tfrac1xr), faça a substituição
t = 1x, xto0^+Longrightarrow tto+infty
Então
xlnl(1+tfrac1xr) = 1t,lnl(1+tr) = ln(1+t)t
Como ln(1+t) cresce muito mais devagar que t, temos
limtto+inftyln(1+t)t = 0
Logo ln L = 0.

Passo 5

Da igualdade ln L = 0 segue
L = e^0 = 1

Resposta

1

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