Calcule os limites
lim x +infty(1+1x)^x^2

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos o limite
limxto+inftyl(1+tfrac1xr)^x^2
Esse é um caso indeterminado do tipo 1^infty. Para resolvê-lo, vamos usar a transformação via logaritmo e a expansão em série de Taylor de ln(1+u).

Passo 2

Definimos
y = l(1+tfrac1xr)^x^2,
e buscamos ln y = x^2 lnl(1+tfrac1xr). Se mostrarmos que ln yto+infty, então yto+infty.

Passo 3

Para xto+infty, o argumento u=1/x vai a zero, e temos a expansão
lnl(1+tfrac1xr) = tfrac1x - tfrac12x^2 + ol(tfrac1x^2r)

Passo 4

Multiplicando por x^2, obtemos
x^2 lnl(1+tfrac1xr) = x^2l(tfrac1x - tfrac12x^2 + ol(tfrac1x^2r)r) = x - tfrac12 + o(1)
Como xto+infty, a expressão x - tfrac12 + o(1) tende a +infty. Logo ln yto+infty.

Passo 5

Concluímos que
y = exp(ln y)toexp(+infty)=+infty

Resposta

+infty

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