3- Calcule
onde F é o campo vetorial
e C é a curva que é a borda da superfície
, considerando que
seja a porção do parabolóide
para o qual
com orientação para cima:
Passo 1
O enunciado pede para calcular \oint_C F \cdot dr, onde F(x,y,z)=(z−y),\vec{i}+(z+x),\vec{j}−(x+y),\vec{k} e C é a curva limite da superfície σ, sendo σ o pedaço do paraboloide z=9−x2−y2 com z≥0. Isso cai no conteúdo de Teorema de Stokes, onde transformamos a integral de linha em uma integral de superfície de curl(F) sobre σ.
Passo 2
Para aplicar Stokes, vamos primeiro calcular o curl de F. Definindo P=z−y, Q=z+x, R=−(x+y), temos
Calculando cada derivada: R_y=−1, Q_z=1, P_z=1, R_x=−1, Q_x=1, P_y=−1. Logo
Passo 3
Agora precisamos do vetor normal orientado para cima. Como σ é dado por z=9−x2−y2, podemos usar a fórmula de grafo:
onde (x,y) varia no disco D de raio 3 (x2+y2≤9). O produto escalar curl(F)·n dS fica
Passo 4
Por fim, integramos sobre o disco D. Como ∫_D x,dA = ∫_D y,dA = 0 por simetria, só sobra
Resposta
18\pi