3- Calcule ointC F cdot d r onde F é o campo vetorial F(x, y, z)=(z-y) i+(z+x) j-(x+y) k e C é a curva que é a borda da superfície sigma, considerando que sigma seja a porção do parabolóide z=9-x^2-y^2 para o qual z >= 0 com orientação para cima:

Passo 1

O enunciado pede para calcular \oint_C F \cdot dr, onde F(x,y,z)=(z−y),\vec{i}+(z+x),\vec{j}−(x+y),\vec{k} e C é a curva limite da superfície σ, sendo σ o pedaço do paraboloide z=9−x2−y2 com z≥0. Isso cai no conteúdo de Teorema de Stokes, onde transformamos a integral de linha em uma integral de superfície de curl(F) sobre σ.

Passo 2

Para aplicar Stokes, vamos primeiro calcular o curl de F. Definindo P=z−y, Q=z+x, R=−(x+y), temos
nablatimes F = l(Ry - Qz,;Pz - Rx,;Qx - Pyr)
Calculando cada derivada: R_y=−1, Q_z=1, P_z=1, R_x=−1, Q_x=1, P_y=−1. Logo
nablatimes F = ( -1-1,;1-(-1),;1-(-1) ) = (-2,;2,;2)

Passo 3

Agora precisamos do vetor normal orientado para cima. Como σ é dado por z=9−x2−y2, podemos usar a fórmula de grafo:
n,dS = (-zx, -zy,1),dA = (2x,2y,1),dA,
onde (x,y) varia no disco D de raio 3 (x2+y2≤9). O produto escalar curl(F)·n dS fica
(-2,2,2)cdot(2x,2y,1) = -4x + 4y + 2

Passo 4

Por fim, integramos sobre o disco D. Como ∫_D x,dA = ∫_D y,dA = 0 por simetria, só sobra
integral duplaD 2,dA = 2cdotÁrea(D) = 2cdot(picdot3^2) = 18piÁ

Resposta

18\pi

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