Certo dia, numa praia, a temperatura atingiu o seu valor máximo às 14 horas. Suponha que nesse dia a temperatura f(t), em graus, era a função do tempo t , medido em horas, dada por f(t)=-t^2+b t-160, quando 8 <= t <= 20. Determine:
a) O valor de b.
b) A temperatura máxima atingida nesse dia.
c) O gráfico de f.

Passo 1

O enunciado nos dá a temperatura como função do tempo
f(t) = -t^2 + b,t - 160,
com 8 <= t <= 20, e afirma que o valor máximo ocorre em t=14.
O conteúdo é estudo de parábola (função quadrática). Vamos usar a fórmula do vértice para encontrar b, depois calcular a temperatura máxima e, por fim, esboçar o gráfico.

Passo 2

Em uma parábola a t^2 + b t + c, a coordenada do vértice em t é
tv = -b2a
Aqui a=-1 e o coeficiente de t é b, então
tv = -b2(-1) = b2
Como o vértice ocorre em t=14, temos
b2 = 14 Longrightarrow b = 28

Passo 3

A temperatura máxima é o valor de f no vértice, isto é, em t=14:
f(14) = -14^2 + 28cdot14 - 160 = -196 + 392 - 160 = 36
Logo a temperatura máxima foi 36 graus.

Passo 4

Para esboçar o gráfico fatoramos f(t):
f(t) = -t^2 + 28t - 160 = -l(t^2 - 28t + 160r) = -(t-8)(t-20)
Isso mostra que as raízes são t=8 e t=20. No intervalo [8,20], o gráfico é uma parábola voltada para baixo que parte de (8,0), sobe até o vértice (14,36) e desce até (20,0).

Resposta

a) b = 28
b) Temperatura máxima 36 graus
c) Gráfico: parábola de equação f(t)=-(t-8)(t-20) em [8,20], com vértice em (14,36) e zeros em (8,0) e (20,0).

Exercícios relacionados