Calcule os limites
lim x 0^+(1-cos x)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0^+(1-cos x)^x.
Aqui a base 1-cos x tende a 0 e o expoente x tende a 0, gerando uma indeterminação do tipo 0^0. Para resolver, vamos reescrever a potência como exponencial e usar expansão em série de Taylor.

Passo 2

Reescrevemos a expressão usando a função exponencial e o logaritmo:
limxto0^+(1-cos x)^x = exp!l(limxto0^+x,lnl(1-cos xr)r)
Bastará, então, calcular
L = limxto0^+x,lnl(1-cos xr).

Passo 3

Usamos a expansão de Taylor de cos x em x=0:
cos x = 1 - x^22 + O(x^4)
Logo
1-cos x = x^22 + O(x^4),
e, para x pequeno,
ln(1-cos x) = ln!l(x^22,(1+O(x^2))r) = ln!l(x^22r) + O(x^2) = 2ln x - ln 2 + O(x^2)

Passo 4

Multiplicando por x, obtemos
x,ln(1-cos x) = xl(2ln x - ln 2 + O(x^2)r) = 2xln x - xln 2 + O(x^3)
Como limxto0^+xln x=0, também limxto0^+xln2=0 e limxto0^+O(x^3)=0. Portanto
limxto0^+x,ln(1-cos x) = 0

Passo 5

Voltando à exponencial, temos
limxto0^+(1-cos x)^x = expl(0r) = 1

Resposta

1

Exercícios relacionados