Calcule os limites
lim x +infty(1+e^-x)^x

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limxto+inftyl(1+e^-xr)^x,
que é um caso de forma indeterminada 1^infty. Para resolver, vamos usar a definição de exponencial via logaritmo natural.

Passo 2

Reescrevemos a potência usando exponencial e logaritmo:
l(1+e^-xr)^x =expl(xlnl(1+e^-xr)r)
Assim, nosso objetivo vira calcular o limite do expoente
xlnl(1+e^-xr) quando xto+infty.

Passo 3

Como e^-xto0 quando xto+infty, usamos a expansão
lnl(1+e^-xr)=e^-x+o(e^-x)
Portanto
xlnl(1+e^-xr) =xl(e^-x+o(e^-x)r) =x,e^-x+x,o(e^-x)
Mas x,e^-xto0 (exponencial decai muito mais rápido que x cresce), logo
limxto+inftyxlnl(1+e^-xr)=0

Passo 4

Voltando à forma original, temos
limxto+inftyl(1+e^-xr)^x =expl(limxto+inftyxln(1+e^-x)r) =exp(0)=1

Resposta

1

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