Calcule os limites
lim x 1^+(ln x)^x-1

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto1^+(ln x)^,x-1.
Este é um caso de forma indeterminada 0^0, pois quando xto1^+ temos ln xto0^+ e x-1to0^+. Para resolver, vamos usar a técnica de reescrever a expressão como uma exponencial, transformando a potência numa multiplicação no expoente.

Passo 2

Definimos
L = limxto1^+(ln x)^,x-1
Tomando logaritmo, escrevemos
ln L = limxto1^+ lnl((ln x)^,x-1r) = limxto1^+ (x-1),lnl(ln xr)
Se conseguirmos mostrar que esse limite vale zero, então L = e^0 = 1.

Passo 3

Analisamos o limite
limxto1^+ (x-1),lnl(ln xr)
Fazendo a substituição h = x-1, com hto0^+, temos
ln x = ln(1+h)approx h para h pequeno, de modo que
lnl(ln xr) = lnl(ln(1+h)r) approx ln(h)
Logo
(x-1),lnl(ln xr) = h,ln(h)
quando hto0^+. Sabemos que
limhto0^+ h,ln(h) = 0

Passo 4

Como o limite do logaritmo de L é zero, conclui-se
ln L = 0 Longrightarrow L = e^0 = 1

Resposta

1

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