Calcule os limites
lim x +infty(pi2-arctan x)^1x^2

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto+inftyl(tfracpi2-arctan xr)^!1/x^2!
O conteúdo necessário é lidar com a forma indeterminada 0^0 e usar a técnica de converter potência em exponencial aplicando logaritmo.

Passo 2

Para xto+infty temos tfracpi2-arctan xto0^+ e tfrac1x^2to0^+, gerando a forma indeterminada 0^0. Reescrevemos a expressão como exponencial:
l(tfracpi2-arctan xr)^1/x^2 = exp!l(tfrac1x^2ln(tfracpi2-arctan x)r)

Passo 3

Definimos o expoente
E(x)=tfrac1x^2,lnl(tfracpi2-arctan xr)
Vamos mostrar que E(x)to0, pois aí o limite da exponencial será exp(0)=1.

Passo 4

Para x grande usa-se a expansão
arctan x = tfracpi2 - tfrac1x + ol(tfrac1xr)
Logo
tfracpi2-arctan x = tfrac1x + ol(tfrac1xr), lnl(tfracpi2-arctan xr) = lnl(tfrac1xr)+o(1) = -ln x + o(1)
Substituindo em E(x):
E(x) = -ln x + o(1)x^2 = -ln xx^2 + ol(tfrac1x^2r) ;longrightarrow;0

Passo 5

Como E(x)to0, a expressão original tende a
expl(E(x)r);longrightarrow;exp(0)=1

Resposta

1

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