Calcule os limites
lim x 0(1ln (x+1)-1e^x-1)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limx to 0l(1ln(1+x) ;-;1e^x-1r)
O conteúdo principal aqui é usar séries de Taylor em torno de x=0 para aproximar ln(1+x) e e^x-1, e em seguida expandir as recíprocas até identificar o termo constante.

Passo 2

Expandimos em série de Taylor até a ordem x^2:
ln(1+x)=x-x^22+O(x^3), e^x-1=x+x^22+O(x^3)

Passo 3

Agora obtemos as recíprocas usando
1x+a x^2+O(x^3)=1x,11+a x+O(x^2) =1xl(1 - a x +O(x^2)r)
Para ln(1+x) temos a=-tfrac12, logo
1ln(1+x) =1xl(1+tfracx2+O(x^2)r) =1x+12+O(x)
Para e^x-1 temos a=+tfrac12, logo
1e^x-1 =1xl(1-tfracx2+O(x^2)r) =1x-12+O(x)

Passo 4

Subtraindo as duas expansões:
1ln(1+x)-1e^x-1 =l(1x+tfrac12+O(x)r) -l(1x-tfrac12+O(x)r) =1+O(x)
Quando xto0, o termo O(x) some, restando 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados